by Whitney Clavin, California Institute of Technology
Le démonstration par dés révèle une nouvelle loi fondamentale de la physique
Par Whitney Clavin, Institut de Technologie de Californie
Édité par Robert Egan, révisé par Andrew Zinin
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Crédit : Institut de Technologie de Californie
À l'heure actuelle, les molécules de l'air autour de vous se meuvent de façon chaotique et imprévisible. Pour comprendre de tels systèmes, les physiciens utilisent une loi appelée distribution de Boltzmann qui, plutôt que de décrire la position exacte de chaque particule, décrit la probabilité de trouver le système dans chacun de ses états possibles. Cela leur permet de faire des prédictions sur l'ensemble du système, même si les mouvements individuels des particules sont aléatoires. C'est comme lancer un dé : chaque lancer est imprévisible, mais si vous le lancez encore et encore, une suite de probabilités se dégagera.
Développée dans la seconde moitié du XIXe siècle par Ludwig Boltzmann, physicien et mathématicien autrichien, la distribution de Boltzmann est aujourd'hui largement utilisée pour modéliser des systèmes dans de nombreux domaines, de l'intelligence artificielle à l'économie, où elle est appelée « logit multinomial ».
Des économistes ont récemment approfondi l'étude de cette loi universelle et abouti à un résultat surprenant : la distribution de Boltzmann, comme le démontre leur démonstration mathématique, est la seule loi capable de décrire avec précision des systèmes indépendants, ou découplés.
Ces travaux de recherche, publiés dans la revue Mathematische Annalen, sont l'œuvre de deux économistes et mathématiciens issus de la physique : Omer Tamuz, professeur d'économie et de mathématiques au Caltech, et Fedor Sandomirskiy, ancien postdoctorant au Caltech et actuellement maître de conférences en économie à l'université de Princeton.
« C'est un exemple de la façon dont la pensée mathématique abstraite peut faire le lien entre différents domaines – en l'occurrence, en reliant des concepts de la théorie économique à la physique », explique Tamuz. « L'environnement interdisciplinaire de Caltech favorise des découvertes comme celle-ci. »
Pour comprendre pourquoi un scientifique s'intéresserait à des systèmes sans lien apparent, prenons l'exemple d'un économiste qui étudie comment les consommateurs choisissent entre deux marques de céréales. Lors de l'élaboration d'une théorie décrivant ce comportement, les scientifiques doivent s'assurer que leur modèle simplifié n'établit pas de liens absurdes. Par exemple, si le modèle prédisait que la préférence d'une personne pour une marque de céréales dépendait du liquide vaisselle acheté ce jour-là ou de la couleur de la chemise portée au magasin, les scientifiques sauraient que le modèle présente une faille.
« Nous préférons ne pas prendre en compte des choix supplémentaires qui semblent sans rapport, comme le savon choisi par le client dans un autre rayon », explique Tamuz. « Nous nous posons la question suivante : dans quelles circonstances l'intégration de ce choix apparemment sans lien laisserait-elle la prédiction du modèle inchangée ? »
Bien que la distribution de Boltzmann décrive avec précision de tels systèmes sans lien apparent, Tamuz et Sandomirskiy se sont interrogés : existe-t-il d'autres théories capables d'en faire autant ?
« Tout le monde utilise la même théorie », a conclu Tamuz. « Mais quelles autres théories possèdent cette propriété intéressante de maintenir correctement l'absence de lien entre des comportements sans rapport ? Devrions-nous plutôt utiliser ces théories ? Si de telles théories existent, elles pourraient s'avérer utiles aussi bien en économie qu'en physique. Dans le cas contraire, nous apprendrions que la distribution de Boltzmann est la seule théorie physique cohérente et que le modèle logit multinomial est le seul modèle économique capable de prédire des choix indépendants dans des situations sans rapport. »
Omer Tamuz et ses dés « fous ». Crédit : Caltech/Whitney Clavin
Un lancer de dé
Pour trouver d'autres théories susceptibles de s'appliquer à des systèmes sans rapport, les économistes ont mis au point de nouvelles méthodes pour tester les fondements mathématiques. Tamuz aime utiliser des dés pour expliquer leur approche. Chaque lancer de dé est aléatoire – on peut obtenir 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 – et peut être interprété comme le comportement d'un individu ou d'un système physique. Si vous lancez le dé plusieurs fois, une régularité se dégagera : chaque résultat, les nombres de 1 à 6, apparaîtra environ une fois sur six. C'est la distribution d'un seul dé.
Si vous lancez deux dés et additionnez leurs résultats, vous obtiendrez une distribution différente. Par exemple, la probabilité d'obtenir un total de 2 est de 1/36 car il n'y a qu'une seule façon d'obtenir un 2 (deux 1). En revanche, la probabilité d'obtenir un 8 est de 5/36 car il y a cinq façons d'obtenir un 8 (deux 4, deux 3 et deux 5, deux 5 et deux 3, deux 2 et deux 6, et deux 6).
Il est important de noter que le résultat d'un dé ne donne aucune information sur le résultat de l'autre, car il s'agit de deux systèmes physiques indépendants. Pour reprendre l'exemple économique, un dé est comparable au choix des céréales, et l'autre au choix du liquide vaisselle. Ces choix aléatoires ne devraient pas s'influencer mutuellement.
Un lancer de dés
Pour trouver d'autres théories possibles applicables à des systèmes non liés, les économistes ont mis au point de nouvelles méthodes pour tester les équations sous-jacentes. Tamuz aime utiliser des dés pour expliquer leur approche. Chaque lancer de dé est aléatoire – on peut obtenir 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 – et peut être interprété comme le comportement d'un individu ou d'un système physique. En lançant le dé plusieurs fois, une régularité se dessine : chaque résultat, les nombres de 1 à 6, apparaît environ une fois sur six. C'est la distribution d'un seul dé.
Si l'on lance deux dés et que l'on additionne leurs résultats, on obtient une distribution différente. Par exemple, la probabilité d'obtenir un total de 2 est de 1/36 car il n'y a qu'une seule façon d'obtenir 2 (un 1 et un 1). Mais la probabilité d'obtenir un 8 est de 5/36 car il existe cinq façons d'obtenir un 8 (deux 4, deux 3 et deux 5, deux 5 et deux 3, deux 2 et deux 6, et deux 6 et deux 2).
Il est important de noter que le résultat d'un dé ne donne aucune information sur le résultat de l'autre, puisqu'il s'agit de deux systèmes physiques indépendants. Pour reprendre l'exemple économique, un dé est comparable au choix des céréales, et l'autre au choix du liquide vaisselle. Ces choix aléatoires ne devraient pas s'influencer mutuellement.
Pour comprendre comment les chercheurs ont testé des théories alternatives à la distribution de Boltzmann, il est nécessaire d'introduire une paire de dés « atypiques », comme les dés de Sicherman, inventés en 1977 par le colonel George Sicherman, créateur de casse-têtes et passionné de mathématiques.
Une paire de dés « atypiques », ou dés de Sicherman, inventés en 1977 par le colonel George Sicherman, créateur de casse-têtes et passionné de mathématiques. Crédit : Caltech/Whitney Clavin
Tamuz (qui, d'ailleurs, garde une paire de dés de Sicherman sur son bureau) explique que les nombres inscrits sur ces dés à six faces sont pour le moins originaux : l'un des dés affiche les nombres 1, 3, 4, 5, 6, 8, et l'autre, 1, 2, 2, 3, 3, 4.
Bien que chaque dé soit très différent d'un dé classique, si vous les lanciez tous les deux et ne notiez que le total, vous ne pourriez pas les distinguer de dés ordinaires. Comme pour les dés classiques, la probabilité d'obtenir un total de 2 avec des dés de Sicherman est de 1/36, et celle d'obtenir 8 est de 5/36. Autrement dit, la distribution de probabilité des sommes obtenues avec chaque type de dé est la même.
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Tamuz et Sandomirskiy ont compris qu'ils pouvaient utiliser les mathématiques sous-jacentes à ces dés de Sicherman pour tester des théories alternatives. Si une théorie expliquait que les dés normaux et les dés « faux » présentaient les mêmes distributions de probabilité des sommes, elle validait sa capacité à décrire avec précision des systèmes indépendants. En revanche, si les dés normaux et les dés « faux » présentaient des distributions de probabilité des sommes différentes (comme dans l'exemple absurde où le choix du savon influencerait celui des céréales), la théorie était invalidée.
Pour tester d'autres théories alternatives, l'astuce consistait à trouver davantage d'exemples de dés « faux » que les dés de Sicherman. Chaque nouvel exemple découvert permettait de tester d'autres théories. Il existe une infinité de théories possibles, qu'ils ont pu associer à une infinité de paires théoriques de dés « faux ». Finalement, ils ont élaboré une démonstration mathématique qui a invalidé toutes les théories alternatives et montré que la distribution de Boltzmann, éprouvée et largement utilisée en science depuis plus d'un siècle, est la seule valable.
En termes mathématiques, la recherche se résume à des polynômes, des fonctions telles que f(x) = x₁ + 3x₂ + x₃, que vous avez peut-être déjà vues en cours d'algèbre.
Toutes les distributions mentionnées ci-dessus, qu'il s'agisse de la distribution de Boltzmann ou d'autres théories, peuvent être représentées par des polynômes. Par exemple, le premier dé de Sicherman, dont les faces sont 1, 3, 4, 5, 6 et 8, est représenté par f(x) = x₁ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆ + x₈.
Le second dé de Sicherman, dont les faces sont 1, 2, 2, 3, 3 et 4, est représenté par g(x) = x₁ + 2x₂ + 2x₃ + x₄.
Le produit de ces polynômes, f(x) · g(x), est un autre polynôme qui représente la distribution des sommes. Cette distribution est identique à celle des sommes de deux dés réguliers, chacune représentée par h(x) = x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆. Ainsi, le produit de h(x) et h(x) est équivalent au produit de f(x) et g(x).
Ce résultat mathématique illustre l'indépendance des systèmes non liés. La démonstration mathématique finale des chercheurs a nécessité une compréhension inédite de ces polynômes.
« Nous ne savions pas à quoi nous attendre au départ », explique Sandomirskiy. « Ces prédictions paradoxales nous intriguaient et nous nous demandions ce que signifiait l'absence de telles prédictions pour une théorie. Finalement, nous avons compris qu'il s'agissait nécessairement de la théorie de Boltzmann. Nous avons découvert une nouvelle perspective sur un concept fondamental des manuels scolaires depuis plus d'un siècle. »
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RESUME
Une démonstration mathématique surprenante, basée sur l'expérience des dés de Sicherman, révèle une nouvelle vérité sur une loi fondamentale de la physique.
Cette démonstration prouve que la distribution de Boltzmann est la seule à pouvoir décrire des systèmes indépendants, ou non couplés, excluant ainsi toute autre théorie. À l'aide de représentations polynomiales et d'exemples comme les dés de Sicherman, l'analyse montre que seule la distribution de Boltzmann préserve l'indépendance des choix non liés, confirmant son rôle fondamental en physique comme en économie.
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COMMENTAIRE
1/Je ne connaissais les dés de Sicherman !
2/
Les dés de Sicherman concernent plus précisemment une paire de dés à jouer affichant des nombres entiers différents de ceux de dés ordinaires, mais dont la somme possède néanmoins une loi de probabilité identique.
3/Quelle est l'histoire dés dés ?
La présence de dés cubiques vieux de plus de 4 000 ans dans des tombes de la vallée de l'Indus (ouest du sous-continent indien) semble pointer vers une origine asiatique de la forme aujourd'hui habituelle — le jeu de dé est mentionné le Rig-Veda (compilé entre environ 1500 et 900 av. J. -C.)1
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Fedor Sandomirskiy et al, On the origin of the Boltzmann distribution, Mathematische Annalen (2025). DOI: 10.1007/s00208-025-03263-x
