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Mathematicians prove Pólya's conjecture for the eigenvalues of a disk, a 70-year-old math problem

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En copagnie de  Bertrand 

Les mathématiciens prouvent la conjecture de Pólya sur les valeurs propres d'un disque, un problème mathématique vieux de 70 ans

par Béatrice St-Cyr-Leroux, Université de Montréal

Crédit : Inventiones mathematicae (2023). DOI : 10.1007/s00222-023-01198-1

Est-il possible de déduire la forme d’un tambour à partir des sons qu’il émet ? C’est le genre de question qu’aime poser Iosif Polterovich, professeur au Département de mathématiques et de statistique de l’Université de Montréal. Polterovich utilise la géométrie spectrale, une branche des mathématiques, pour comprendre les phénomènes physiques impliquant la propagation des ondes.

L’été dernier, Polterovich et ses collaborateurs internationaux – Nikolay Filonov, Michael Levitin et David Sher – ont prouvé un cas particulier d’une célèbre conjecture de géométrie spectrale formulée en 1954 par l’éminent mathématicien hongro-américain George Pólya.

La conjecture porte sur l'estimation des fréquences d'un tambour rond ou, en termes mathématiques, des valeurs propres d'un disque.

Pólya lui-même a confirmé sa conjecture en 1961 pour les domaines qui recouvrent un plan, comme les triangles et les rectangles. Jusqu’à l’année dernière, la conjecture n’était connue que pour ces cas. Le disque, malgré son apparente simplicité, restait insaisissable.

"Imaginez un sol infini recouvert de carreaux de même forme qui s'assemblent pour remplir l'espace", a déclaré Polterovich. "Il peut être carrelé avec des carrés ou des triangles, mais pas avec des disques. Un disque n'est en fait pas une bonne forme pour carreler."

L'universalité des mathématiques

Dans un article publié dans la revue mathématique Inventiones Mathematicae, les chercheurs montrent que la conjecture de Pólya est vraie pour le disque, un cas considéré comme particulièrement difficile.

Bien que leur résultat ait essentiellement une valeur théorique, leur méthode de preuve a des applications en mathématiques computationnelles et en calcul numérique. Les auteurs étudient actuellement cette piste.

"Bien que les mathématiques soient une science fondamentale, elles ressemblent à certains égards aux sports et aux arts", a déclaré Polterovich.

"Essayer de prouver une conjecture de longue date est un sport. Trouver une solution élégante est un art. Et dans de nombreux cas, de belles découvertes mathématiques s'avèrent utiles : il suffit de trouver la bonne application

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COMMENTAIRES 

Et pout monsieur Simple Quidam :Qu'est-ce qu'une conjecture en théorie des nombres ?

Parfois, une conjecture est appelée hypothèse lorsqu’elle est utilisée fréquemment et de manière répétée comme hypothèse dans les preuves d’autres résultats. Par exemple, l’hypothèse de Riemann est une conjecture issue de la théorie des nombres qui, entre autres choses, fait des prédictions sur la distribution des nombres premiers.

 Voir sur GOOGLE la référence  :''La lLa liste des problèmes jamais résolus en Mathématiques''

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— Conjecture de Hodge, hypothèse de Riemann, ...Certains problèmes mathématiques n'ont toujours pas de solution ! 

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es mathématiciens prouvent la conjecture de Pólya sur les valeurs propres d'un disque, un problème mathématique vieux de 70 ans

par Béatrice St-Cyr-Leroux, Université de Montréal