In double breakthrough, mathematician helps solve two long-standing problems
by Kitta MacPherson, Rutgers University
Un mathématicien a réussi une double percée en aidant à résoudre deux problèmes de longue date
par Kitta MacPherson, Université Rutgers
Pham Tiep a déclaré qu'il n'utilisait qu'un stylo et du papier pour mener ses recherches, qui ont jusqu'à présent donné lieu à cinq livres et plus de 200 articles dans des revues mathématiques. Crédit : Pham Tiep
Un professeur de l'Université Rutgers-New Brunswick qui a consacré sa carrière à résoudre les mystères des mathématiques supérieures a résolu deux problèmes fondamentaux distincts qui ont laissé les mathématiciens perplexes pendant des décennies.
Les solutions à ces problèmes de longue date pourraient améliorer notre compréhension des symétries des structures et des objets dans la nature et la science, et du comportement à long terme de divers processus aléatoires survenant dans des domaines allant de la chimie et de la physique à l'ingénierie, à l'informatique et à l'économie.
Pham Tiep, professeur émérite de mathématiques Joshua Barlaz au département de mathématiques de la Rutgers School of Arts and Science, a terminé la preuve de la conjecture de hauteur zéro de 1955 posée par Richard Brauer, un mathématicien germano-américain de premier plan décédé en 1977.
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La preuve de la conjecture, généralement considérée comme l'un des défis les plus remarquables dans un domaine des mathématiques connu sous le nom de théorie de la représentation des groupes finis, est publiée dans les Annals of Mathematics.
« Une conjecture est une idée que vous croyez avoir une certaine validité », a déclaré Tiep, qui a réfléchi au problème de Brauer pendant la majeure partie de sa carrière et y a travaillé intensément au cours des 10 dernières années. « Mais les conjectures doivent être prouvées. J'espérais faire progresser le domaine. Je ne m'attendais pas à pouvoir résoudre celle-ci. »
En un sens, Tiep et ses collègues ont suivi un modèle de défis que Brauer leur a présenté dans une série de conjectures mathématiques posées et publiées dans les années 1950-60.
« Certains mathématiciens ont cette intelligence rare », a déclaré Tiep à propos de Brauer. « C'est comme s'ils venaient d'une autre planète ou d'un autre monde. Ils sont capables de voir des phénomènes cachés que d'autres ne peuvent pas voir. »
Dans la deuxième avancée, Tiep a résolu un problème difficile dans ce que l'on appelle la théorie Deligne-Lusztig, une partie du mécanisme fondamental de la théorie des représentations. La percée concerne les traces, une caractéristique importante d'un réseau rectangulaire connu sous le nom de matrice. La trace d'une matrice est la somme de ses éléments diagonaux. Le travail est détaillé dans deux articles. L'un a été publié dans Inventiones mathematicae, le second dans Annals of Mathematics.
« Le travail de haute qualité de Tiep et son expertise sur les groupes finis ont permis à Rutgers de maintenir son statut de centre mondial de premier plan dans ce domaine », a déclaré Stephen Miller, professeur émérite et président du département de mathématiques.
« L'une des grandes réalisations des mathématiques du XXe siècle a été la classification des groupes finis dits « simples », peut-être nommés de manière trompeuse, et elle est synonyme de Rutgers : elle a été menée à partir de là et de nombreux exemples parmi les plus intéressants ont été découverts ici. Grâce à son incroyable série de travaux de qualité, Tiep apporte une visibilité internationale à notre département. »
es résultats de cette solution sont susceptibles d'améliorer considérablement la compréhension des traces par les mathématiciens, a déclaré Tiep. La solution fournit également des informations qui pourraient conduire à des percées dans d'autres problèmes importants des mathématiques, notamment les conjectures posées par le mathématicien de l'Université de Floride John Thompson et le mathématicien israélien Alexander Lubotzky, a-t-il ajouté.
Ces deux percées constituent des avancées dans le domaine de la théorie de la représentation des groupes finis, un sous-ensemble de l'algèbre. La théorie de la représentation est un outil important dans de nombreux domaines des mathématiques, notamment la théorie des nombres et la géométrie algébrique, ainsi que dans les sciences physiques, notamment la physique des particules. Grâce à des objets mathématiques appelés groupes, la théorie de la représentation a également été utilisée pour étudier la symétrie dans les molécules, crypter des messages et produire des codes de correction d'erreurs.
En suivant les principes de la théorie de la représentation, les mathématiciens prennent des formes abstraites qui existent dans la géométrie euclidienne - certaines d'entre elles extrêmement complexes - et les transforment en tableaux de nombres. Cela peut être réalisé en identifiant certains points qui existent dans chaque forme tridimensionnelle ou supérieure et en les convertissant en nombres placés dans des lignes et des colonnes.
L'opération inverse doit également fonctionner, a déclaré Tiep. Il faut être capable de reconstituer la forme à partir de la séquence de nombres.
Contrairement à beaucoup de ses collègues des sciences physiques qui utilisent souvent des appareils complexes pour faire avancer leurs travaux, Tiep dit qu'il n'utilise qu'un stylo et du papier pour mener ses recherches, qui ont jusqu'à présent donné lieu à cinq livres et plus de 200 articles dans des revues mathématiques de premier plan.
Il note des formules mathématiques ou des phrases indiquant des chaînes logiques. Il engage également des conversations continues - en personne ou sur Zoom - avec ses collègues alors qu'ils avancent étape par étape dans une preuve.
Mais le progrès peut venir de la réflexion intérieure, a déclaré Tiep, et les idées jaillissent quand il s'y attend le moins.
"Je me promène peut-être avec nos enfants ou je fais du jardinage avec ma femme ou je fais simplement quelque chose dans la cuisine", a-t-il déclaré. "Ma femme dit qu'elle sait toujours quand je pense aux mathématiques".
Pour la première preuve, Tiep a collaboré avec Gunter Malle de l'Université technique de Kaiserslautern en Allemagne, Gabriel Navarro de l'Université de Valence en Espagne et Amanda Schaeffer Fry, une ancienne étudiante diplômée de Tiep qui est maintenant à l'Université de Denver.
Pour la deuxième avancée, Tiep a travaillé avec Robert Guralnick de l'Université de Californie du Sud et Michael Larsen de l'Université d'Indiana. Sur le premier des deux articles qui abordent les problèmes mathématiques sur les traces et les résolvent, Tiep a travaillé avec Guralnick et Larsen. Tiep et Larsen sont co-auteurs du deuxième article.
"Tiep et ses co-auteurs ont obtenu des limites sur les traces qui sont à peu près aussi bonnes que nous pourrions espérer obtenir", a déclaré Miller. "C'est un sujet mature qui est important sous de nombreux angles, donc les progrès sont difficiles - et les applications sont nombreuses."
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COMMENTAIRES
1/Quels sont les problèmes mathématiques non résolus ?
Le problème non résolu le plus fameux a été pendant des siècles le théorème de Fermat. Celui-ci avait affirmé il y a trois siècles (sans le démontrer) que pour tout entier n supérieur à 2, il n'existe aucun triplet d'entiers naturels a,b et c tels que an = bn + cn. Il a fallu attendre 1994 pour que en Andrew Wiles, au ropose une solution
2/Quel est la conjecture de maths la plus dure au monde ?
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On appelle conjectures les problèmes mathématiques non resolues : par exemple celle de Reimann, conçue en 1859. Elle consiste à prédire l'intégralité de lma fonction rassemblantd les nombres premiers (comme 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc.). Mais cette fonction très compliquée n'a jamais été démontrée par personne depuis !
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More information: Gunter Malle et al, Brauer's Height Zero Conjecture, Annals of Mathematics (2024). DOI: 10.4007/annals.2024.200.2.4
Robert M. Guralnick et al, Character levels and character bounds for finite classical groups, Inventiones mathematicae (2023). DOI: 10.1007/s00222-023-01221-5
Michael Larsen et al, Uniform character bounds for finite classical groups, Annals of Mathematics (2024). DOI: 10.4007/annals.2024.200.1.1
Provided by Rutgers University
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