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Sharpening Occam's Razor: A new p

rspective on structure and complexity

 

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Affûter le rasoir d'Occam : une nouvelle perspective sur la structure et la complexité

par l'Université de Californie - Santa Barbara

Crédit : Pixabay/CC0 Domaine public

En science, l'explication avec le moins d'hypothèses est la plus susceptible d'être vraie. Appelé "rasoir d'Occam", ce principe a guidé la théorie et l'expérimentation pendant des siècles. Mais comment comparer des concepts abstraits ?

Dans un nouvel article, des philosophes de l'UC Santa Barbara et de l'UC Irvine expliquent comment peser la complexité des théories scientifiques en comparant leurs mathématiques sous-jacentes. Ils visent à caractériser la quantité de structure d'une théorie à l'aide de la symétrie - ou les aspects d'un objet qui restent les mêmes lorsque d'autres modifications sont apportées.

Après de longues discussions, les auteurs doutent finalement que la symétrie fournira le cadre dont ils ont besoin. Cependant, ils découvrent pourquoi c'est un excellent guide pour comprendre la structure. Leur article paraît dans la revue Synthèse.

"Les théories scientifiques ne portent pas souvent leur interprétation sur leurs manches, il peut donc être difficile de dire exactement ce qu'elles vous disent sur le monde", a déclaré l'auteur principal Thomas Barrett, professeur agrégé au département de philosophie de l'UC Santa Barbara. "Surtout les théories modernes. Elles deviennent de plus en plus mathématiques au fil des siècles." Comprendre la quantité de structure dans différentes théories peut nous aider à donner un sens à ce qu'elles disent, et même nous donner des raisons de préférer l'une à l'autre.

La structure peut également nous aider à reconnaître quand deux idées sont vraiment la même théorie, juste dans des vêtements différents. Par exemple, au début du XXe siècle, Werner Heisenberg et Erwin Schrödinger ont formulé deux théories distinctes de la mécanique quantique. "Et ils détestaient les théories de l'autre", a déclaré Barrett. Schrödinger a fait valoir que la théorie de son collègue "manquait de visualisabilité". Pendant ce temps, Heisenberg a trouvé la théorie de Schrödinger "répugnante" et a affirmé que "ce que Schrödinger écrit sur la visualisabilité [...] est de la merde".

Mais alors que les deux concepts semblaient radicalement différents, ils faisaient en fait les mêmes prédictions. Environ une décennie plus tard, leur collègue John von Neumann a démontré que les formulations étaient mathématiquement équivalentes.

Pommes et oranges

Une façon courante d'examiner un objet mathématique consiste à examiner ses symétries. L'idée est que les objets plus symétriques ont des structures plus simples. Par exemple, comparez un cercle - qui a une infinité de symétries de rotation et de réflexion - à une flèche, qui n'en a qu'une. En ce sens, le cercle est plus simple que la flèche et nécessite moins de mathématiques pour être décrit.

Les auteurs étendent cette rubrique à des mathématiques plus abstraites utilisant des automorphismes. Ces fonctions comparent différentes parties d'un objet qui sont, dans un certain sens, "identiques" les unes aux autres. Les automorphismes nous donnent une heuristique pour mesurer la structure de différentes théories : les théories plus complexes ont moins d'automorphismes.

En 2012, deux philosophes ont proposé un moyen de comparer la complexité structurelle de différentes théories. Un objet mathématique X a au moins autant de structure qu'un autre, Y, si et seulement si les automorphismes de X sont un sous-ensemble de ceux de Y. Considérons à nouveau le cercle. Maintenant, comparez-le à un cercle à moitié rouge. Le cercle ombré n'a plus que certaines des symétries qu'il avait auparavant, en raison de la structure supplémentaire qui a été ajoutée au système.

C'était un bon essai, mais cela reposait trop sur les objets ayant le même type de symétries. Cela fonctionne bien pour les formes, mais s'effondre pour les mathématiques plus compliquées.

Isaac Wilhelm, de l'Université nationale de Singapour, a tenté de fixer cette sensibilité. Nous devrions pouvoir comparer différents types de groupes de symétrie tant que nous pouvons trouver une correspondance entre eux qui préserve le cadre interne de chacun. Par exemple, l'étiquetage d'un plan établit une correspondance entre une image et un bâtiment qui préserve l'aménagement intérieur du bâtiment.

Le changement nous permet de comparer les structures de théories mathématiques très différentes, mais il crache également des réponses incorrectes. "Malheureusement, Wilhelm est allé trop loin là-bas", a déclaré Barrett. "Pas n'importe quelle correspondance fera l'affaire."

Dans leur récent article, Barrett et ses co-auteurs, JB Manchak et James Weatherall, ont tenté de sauver les progrès de leur collègue en restreignant le type de symétries, ou automorphismes, qu'ils envisageraient. Peut-être que seule une correspondance qui découle des objets sous-jacents (par exemple le cercle et la flèche), et non leurs groupes de symétrie, est casher.

Malheureusement, cette tentative a également échoué. En fait, il semble que l'utilisation de symétries pour comparer des structures mathématiques soit vouée à l'échec par principe. Considérez une forme asymétrique. Une tache d'encre, peut-être. Eh bien, il y a plus d'une tache d'encre dans le monde, qui sont toutes complètement asymétriques et complètement différentes les unes des autres. Mais, ils ont tous le même groupe de symétrie - à savoir aucun - donc tous ces systèmes classent les taches d'encre comme ayant la même complexité même si certaines sont beaucoup plus désordonnées que d'autres.

Cet exemple de tache d'encre révèle que nous ne pouvons pas tout dire sur la complexité structurelle d'un objet simplement en regardant ses symétries. Comme Barrett l'a expliqué, le nombre de symétries qu'un objet admet atteint son maximum à zéro. Mais il n'y a pas de plafond correspondant à la quantité de complexité qu'un objet peut avoir. Cette inadéquation crée l'illusion d'une limite supérieure pour la complexité structurelle.

Et là, les auteurs exposent le vrai problème. Le concept de symétrie est puissant pour décrire la structure. Cependant, il ne capture pas suffisamment d'informations sur un objet mathématique - et la théorie scientifique qu'il représente - pour permettre une comparaison approfondie de la complexité. La recherche d'un système capable de faire cela continuera à occuper les chercheurs.

Une lueur d'espoir

Bien que la symétrie ne fournisse peut-être pas la solution espérée par les auteurs, ils découvrent une idée clé : les symétries touchent aux concepts dont un objet est naturellement et organiquement équipé. De cette façon, ils peuvent être utilisés pour comparer les structures de différentes théories et systèmes. "Cette idée vous donne une explication intuitive de la raison pour laquelle les symétries sont un bon guide pour la structure", a déclaré Barrett. Les auteurs écrivent que cette idée mérite d'être conservée, même si les philosophes doivent abandonner l'utilisation des automorphismes pour comparer la structure.

Heureusement, les automorphismes ne sont pas le seul type de symétrie en mathématiques. Par exemple, au lieu de regarder uniquement les symétries globales, nous pouvons regarder les symétries des régions locales et les comparer également. Barrett étudie actuellement où cela mènera et travaille à décrire ce que signifie définir une structure par rapport à une autre.

Bien que la clarté nous échappe encore, cet article donne un but aux philosophes. Nous ne savons pas où nous en sommes dans cette difficile ascension vers le sommet de la compréhension. La route à parcourir est enveloppée de brume et il n'y a peut-être même pas de sommet à atteindre. Mais la symétrie fournit une prise pour ancrer nos cordes pendant que nous continuons à grimper.

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COMMENTAIRES 

Le rasoir d'Occam, en termes simples, déclare : "la solution la plus simple est presque toujours la meilleure". C'est un principe de résolution de problèmes selon lequel la simplicité vaut mieux que la complexité. Nommée d'après le logicien et théologien du XIVe siècle Guillaume d'Ockham, cette théorie a aidé de nombreux grands penseurs pendant des siècles.

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More information: Thomas William Barrett et al, On automorphism criteria for comparing amounts of mathematical structure, Synthese (2023). DOI: 10.1007/s11229-023-04186-3

Provided by University of California - Santa Barbara 

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