Mathematician solves algebra's oldest problem using intriguing new number sequences
Un mathématicien résou
t le plus vieux problème d'algèbre grâce à de nouvelles suites de nombres fascinantes
Par l'Université de Nouvelle-Galles du Sud
Norman Wildberger devant son ordinateur portable. Crédit : UNSW Sydney
Un mathématicien de l'UNSW Sydney a découvert une nouvelle méthode pour relever le plus vieux défi de l'algèbre : résoudre des équations polynomiales d'ordre supérieur.
Les polynômes sont des équations impliquant une variable élevée à des puissances, comme le polynôme de degré deux : 1 + 4x – 3x2 = 0.
Ces équations sont fondamentales en mathématiques comme en sciences, où elles ont de vastes applications, comme la description du mouvement des planètes ou l'écriture de programmes informatiques.
Cependant, une méthode générale pour résoudre les équations polynomiales d'ordre supérieur, où x est élevé à la puissance cinq ou plus, s'est avérée historiquement difficile à trouver.
Norman Wildberger, professeur honoraire de l'UNSW, a dévoilé une nouvelle approche utilisant de nouvelles suites de nombres, présentée dans la revue The American Mathematical Monthly, en collaboration avec le Dr Dean Rubine, informaticien.
« Notre solution rouvre un livre jusque-là clos de l'histoire des mathématiques », déclare le professeur Wildberger.
Le problème des polynômes
Les solutions aux polynômes de degré deux existent depuis 1800 av. J.-C., grâce à la « méthode de complétion du carré » des Babyloniens, qui a donné naissance à la formule quadratique familière à de nombreux élèves de mathématiques au lycée. Cette approche, utilisant les racines des nombres appelées « radicaux », a ensuite été étendue à la résolution des polynômes de degré trois et quatre au XVIe siècle.
En 1832, le mathématicien français Évariste Galois a montré comment la symétrie mathématique sous-jacente aux méthodes de résolution des polynômes d'ordre inférieur devenait impossible pour les polynômes de degré cinq et plus. Par conséquent, pensait-il, aucune formule générale ne pouvait les résoudre.
Des solutions approximatives pour les polynômes de degré supérieur ont depuis été développées et sont largement utilisées dans les applications, mais le professeur Wildberger affirme qu'elles n'appartiennent pas à l'algèbre pure.
Le problème, explique-t-il, réside dans l'utilisation, dans la formule classique, de racines troisièmes ou quatrièmes, qui sont des radicaux.
Les radicaux représentent généralement des nombres irrationnels, des décimales qui s'étendent à l'infini sans se répéter et ne peuvent être écrites sous forme de fractions simples. Par exemple, la réponse à la racine cubique de sept, 3√7 = 1,9129118…, s'étend à l'infini.
Le professeur Wildberger explique que cela signifie que la vraie réponse ne peut jamais être entièrement calculée, car « il faudrait une quantité infinie de travail et un disque dur plus grand que l'univers ».
Ainsi, lorsque nous supposons que 3√7 « existe » dans une formule, nous supposons que cette décimale infinie et sans fin est en quelque sorte un objet complet.
C'est pourquoi le professeur Wildberger affirme ne pas croire aux nombres irrationnels.
Les nombres irrationnels, explique-t-il, reposent sur un concept imprécis de l'infini et conduisent à des problèmes logiques en mathématiques.
Le rejet des radicaux par le professeur Wildberger a inspiré ses contributions les plus célèbres aux mathématiques, à la trigonométrie rationnelle et à la géométrie hyperbolique universelle. Ces deux approches s'appuient sur des fonctions mathématiques comme l'élévation au carré, l'addition ou la multiplication, plutôt que sur des nombres irrationnels, des radicaux ou des fonctions comme le sinus et le cosinus.
Sa nouvelle méthode de résolution des polynômes évite également les radicaux et les nombres irrationnels, s'appuyant plutôt sur des extensions spécifiques des polynômes appelées « séries entières », qui peuvent comporter un nombre infini de termes avec les puissances de x.
En tronquant les séries entières, le professeur Wildberger explique qu'ils ont pu extraire des réponses numériques approximatives pour vérifier la performance de la méthode.
« L'une des équations que nous avons testées était une célèbre équation cubique utilisée par Wallis au XVIIe siècle pour démontrer la méthode de Newton. Notre solution a parfaitement fonctionné », a-t-il déclaré.
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Une nouvelle géométrie pour une solution générale
Cependant, le professeur Wildberger affirme que la preuve de la méthode repose, en fin de compte, sur la logique mathématique.
Sa méthode utilise de nouvelles suites de nombres qui représentent des relations géométriques complexes. Ces suites appartiennent à la combinatoire, une branche des mathématiques qui étudie les modèles numériques dans des ensembles d'éléments.
La suite combinatoire la plus célèbre, appelée nombres de Catalan, décrit le nombre de façons de décomposer un polygone (toute forme à trois côtés ou plus) en triangles.
Ces nombres ont d'importantes applications pratiques, notamment dans les algorithmes informatiques, la conception de structures de données et la théorie des jeux. Ils apparaissent même en biologie, où ils permettent de compter les modèles de repliement possibles des molécules d'ARN. Et ils peuvent être calculés à l'aide d'un simple polynôme de degré deux.
Les nombres de Catalan sont considérés comme intimement liés à l'équation quadratique. Notre innovation réside dans l'idée que pour résoudre des équations supérieures, il faut rechercher des analogues supérieurs des nombres de Catalan.
Les travaux du professeur Wildberger étendent ces nombres de Catalan d'un tableau unidimensionnel à un tableau multidimensionnel, en fonction du nombre de divisions possibles d'un polygone par des droites non sécantes.
Nous avons découvert ces extensions et montré comment, logiquement, elles conduisent à une solution générale aux équations polynomiales.
Il s'agit d'une révision radicale d'un chapitre fondamental de l'algèbre.
Même les quintiques – un polynôme de degré cinq – ont désormais des solutions, explique-t-il.
Outre son intérêt théorique, ajoute-t-il, la méthode est prometteuse pour la création de programmes informatiques capables de résoudre des équations en utilisant les séries algébriques plutôt que les radicaux.
Il s'agit d'un calcul essentiel pour une grande partie des mathématiques appliquées, ce qui représente une opportunité d'améliorer les algorithmes dans un large éventail de domaines.
Les facettes inexplorées de la Géode
Le professeur Wildberger affirme que ce nouveau tableau de nombres, que lui et le Dr Rubine ont appelé la « Géode », recèle également un vaste potentiel de recherche.
Nous introduisons ce tableau de nombres fondamentalement nouveau, la Géode, qui étend les nombres de Catalan classiques et semble les sous-tendre.
Nous pensons que l'étude de ce nouveau réseau de géodes soulèvera de nombreuses questions et occupera les combinatoires pendant des années.
« Vraiment, il existe tellement d'autres possibilités. Ce n'est qu'un début. »
Plus d'informations : N. J. Wildberger et al., A Hyper-Catalan Series Solution to Polynomial Equations, and the Geode, The American Mathematical Monthly (2025). DOI : 10.1080/00029890.2025.2460966
Fourni par l'Université de Nouvelle-Galles du Sud
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Un mathématicien résout le plus vieux problème d'algèbre grâce à de nouvelles suites de nombres intrigantes
Un mathématicien de l'UNSW Sydney a découvert une nouvelle méthode pour relever le plus vieux défi d'algèbre : la résolution d'équations polynomiales supérieures.
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COMMENTAIRES
Je me réjouis de voir qu 'il existe encore des jeunes gens qui recherchent des solutions a de trés''antiques ''problémes d algèbre !BRAVO !!!!!
M al heureusement le volume d espace de ce blog serait trop grand pour vous détailler mle dé veloppement a donner a ce problème :
''0=1−𝛼+𝑡2𝛼2+𝑡3𝛼3+𝑡4𝛼4+𝑡5𝛼5 + …
has a formal power series solution
𝛼=𝐒[𝑡2,𝑡3,…]
≡
∑
𝑚2,𝑚3,…≥0
(2𝑚2+3𝑚3+4𝑚4+…)!
(1+𝑚2+2𝑚3+…)!𝑚2!𝑚3!⋯
𝑡𝑚2
2𝑡𝑚3
3⋯''
Je prie donc mes lecteurs de me pardonner de ce si bref commentaie!!!!
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More information: N. J. Wildberger et al, A Hyper-Catalan Series Solution to Polynomial Equations, and the Geode, The American Mathematical Monthly (2025). DOI: 10.1080/00029890.2025.2460966
Provided by University of New South Wales
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